Enrico Pagani

Fisica-Matematica.
Meccanica Analitica. Metodi geometrico-differenziali in Meccanica Analitica.
Calcolo delle variazioni in presenza di vincoli cinetici.
Propagazione delle onde.

Analisi, anche storica, dei contributi di Grassmann e Peano alla Fisica-Matematica, all’Analisi e alla Geometria.

Argomenti di ricerca.

La mia attivita` di ricerca, iniziata nel 1979, si e` incentrata sui seguenti argomenti:

-       Relativita` generale, termodinamica dei continui relativistici, teoria cinetica relativistica, propagazione ondosa;

-       Idrodinamica e magnetoidrodinamica;

-       Propagazione di onde acustiche in mezzi elastici e viscoelastici non omogenei stratificati;

-       Meccanica analitica.

-       Analisi, anche storica, dei contributi di Grassmann e Peano alla Fisica-Matematica, all’Analisi e alla Geometria.

Nel seguito i suddetti punti verranno illustrati in dettaglio, facendo riferimento, nella citazione delle pubblicazioni, all’elenco completo delle pubblicazioni stesse riportato nelle pagine successive. In tale elenco, l’ordine e` quello cronologico di pubblicazione.

Nota sull’attivita` di ricerca sugli argomenti: Relativita` generale, termodinamica dei continui relativistici, teoria cinetica relativistica, propagazione ondosa.

L’attivita` di ricerca in relativita` generale e` iniziata nel 1979, nell’ambito della preparazione della tesi di laurea in Fisica, a Genova, sull’argomento “Formalismo canonico in relativita` generale”, svolta sotto la supervisione del Prof. Enrico Massa. Nella tesi, utilizzando una formulazione variazionale (che costituisce una significativa generalizzazione del metodo di Palatini) delle equazioni della relativita` generale proposta da Massa e alcune tecniche di relativizzazione proposte sempre da Massa, viene fornito un approccio alternativo per la costruzione della cosiddetta lagrangiana ADM. Successivamente si sono analizzate le difficolta` derivanti dalla singolarita` di tale lagrangiana e dalla conseguente esistenza di vincoli sui dati iniziali, cercando una possibile rappresentazione esplicita dei dati iniziali stessi.

Durante il lavoro di tesi e nel periodo immediatamente successivo mi sono occupato di alcuni aspetti della relativita` generale, tra cui il problema dei dati iniziali per le equazioni di Einstein, di varie formulazioni variazionali, di tecniche di relativizzazione, di questioni di meccanica analitica implicate dalla natura singolare della lagrangiana e della teoria di Dirac.

L’attivita` in questo settore ha dato luogo alle mie prime pubblicazioni. Nella n. 1 viene proposta una modificazione del principio variazionale di Palatini, adattato al caso al caso della teoria linearizzata. Si ottiene una formulazione hamiltoniana, analoga a quella ottenuta da Arnowitt, Deser e Misner nella teoria esatta. La teoria fornisce una hamiltoniana che non e` identicamente nulla e che puo` essere identificata con l’energia del campo gravitazionale. Viene infine verificata la coincidenza, in un caso particolare, con una definizione di energia gravitazionale proposta da Cattaneo.

Nel lavoro n. 3  viene esaminato il problema dei dati iniziali nella teoria linearizzata della relativita` generale,  e viene esibito un insieme di variabili “significative” da un punto di vista dinamico, nel senso che la loro evoluzione temporale e` indipendente dalla scelta di gauge. Ciò induce a identificare queste variabili con i “gradi di liberta`” del campo gravitazionale.

Successivamente mi sono occupato di meccanica e termodinamica relativistica dei continui materiali, esaminando sia gli aspetti cinematici che quelli piu’ strettamente legati alla caratterizzazione costitutiva. In questo ambito mi sono occupato di fenomeni di propagazione ondosa, intesi come propagazione di discontinuita`. Ho studiato questioni legate alle caratteristiche, alle bicaratteristiche e all’evoluzione di discontinuita` lungo le bicaratteristiche.

Nel lavoro n. 2 viene provata l’esistenza di onde di accelerazione nell’ambito di una formulazione della termodinamica relativistica proposta da Massa e Morro nel 1978, nel caso in cui sia presente uno stress viscoso. Nel successivo lavoro n. 4, sempre nell’ambito della stessa teoria, viene provata l’esistenza di onde di accelerazione e termiche che si propagano con velocita` finita.

Anche allo scopo di meglio comprendere alcuni fenomeni della termodinamica macroscopica dei continui, e in particolare alcune questioni legate alla caratterizzazione costitutiva del flusso di calore e del tensore di stress, mi sono successivamente occupato di teoria cinetica, classica e relativistica, esaminando alcuni ben noti metodi di approssimazione. Nella pubblicazioni n. 5 e 6 viene studiata la propagazione di onde di accelerazione e termiche nei gas perfetti, usando il metodo dei momenti per la risoluzione dell’equazione di Boltzmann. Viene provata l'esistenza di onde longitudinali e trasversali, e si da` una stima delle velocita` di propagazione.

Ho studiato alcuni aspetti geometrico-differenziali delle equazioni differenziali a derivate parziali e l’applicazione dei teoremi di Frobenius e di Cartan-Kahler ad alcuni problemi che possono essere formulati in termini di sistemi differenziali esteriori. In questo tipo di problematica si inserisce la pubblicazione n. 7, in cui si esamina il problema dell’esistenza di una rappresentazione del tensore di Riemann di una varietà 4-dimensionale in termini di un opportuno tensore potenziale. Questo fatto, che costituirebbe una interessante generalizzazione di un analogo risultato provato da Lanczos per il tensore di Weil, e` mostrato essere, in generale, non vero.

L’attivita` di ricerca in questo settore e` stata svolta principalmente in collaborazione con il Prof. Enrico Massa.

Nota sull’attivita` di ricerca sugli argomenti: Idrodinamica e magnetoidrodinamica.

Nell’ambito dell’idrodinamica bidimensionale per fluidi ideali, la cui evoluzione temporale e` descritta dall’equazione di Eulero, risulta avere una certa rilevanza il modello a “vortici puntiformi”. In tale modello la vorticita`, cioe` il rotore del campo di velocita` del fluido, ha solo una componente non nulla, e questa funzione risulta avere la natura di una somma di distribuzioni delta di Dirac. Il modello ha proprieta` interessanti, tra cui, ad esempio, la natura hamiltoniana delle equazioni evolutive, con le coordinate cartesiane nel piano del moto di ciascun vortice aventi il ruolo di coordinate canoniche. In relazione a situazioni reali, il modello a vortici puntiformi rappresenta evidentemente una approssimazione, valida tanto piu’ quanto il supporto della vorticita` risulta piccolo (in relazione alle dimensioni del dominio e alle distanze tra i vortici stessi). In generale anche partendo da dati iniziali in cui la vorticita` risulta molto concentrata, durante l’evoluzione temporale i supporti della vorticita` stessa si sparpagliano e perdono filamenti vorticosi (anche se la misura del supporto della vorticita` rimane costante, essendo il fluido perfetto). In generale non ci sono risultati e stime sulle proprieta` di concentrazione dei supporti delle vorticita` valide per ogni valore del tempo, a meno di riferirsi a configurazioni particolari di vortici. Nella pubblicazione n. 8 si estende al caso di due vortici, con vorticita` di segno opposto in un dominio limitato, un risultato di Turkington del 1984 valido per un solo vortice,  e precisamente si mostra che quando i diametri delle due sferette che contengono i supporti della vorticita` tendono a zero inizialmente, allora, per ogni tempo, la vorticita` risulta “praticamente” contenuta in due sferette i cui diametri tendono a zero. L’avverbio “praticamente” sta a indicare che la vorticita` che “fuoriesce” dalle sferette in questione tende a zero in norma L1 quando i diametri delle sferette tendono a zero inizialmente. Notare che la stima e` vera per ogni valore del tempo. Successivamente viene provato che il moto dei centri di vorticita` converge uniformemente, in ogni intervallo temporale prefissato, alla soluzione del modello a vortici puntiformi, quando i diametri delle sferette di vorticita` tendono a zero inizialmente.

Un plasma relativistico, quando le collisioni tra le particelle siano trascurabili (assunzione ragionevole nel caso di gas sufficientemente rarefatti) e quindi le particelle interagiscano solo attraverso il campo medio da esse prodotto, puo’ essere descritto dall’equazione relativistica di Maxwell-Vlasov, ovvero dal sistema formato dall’equazione di Boltzmann relativistica senza termini di collisione e dalle equazioni di Maxwell. Una ulteriore semplificazione consistente nell’assumere nullo il campo magnetico (assunzione ragionevole nel caso di fenomeni quasi stazionari) conduce a quello che in letteratura e` noto sotto il nome di modello di Poisson-Vlasov relativistico.

Nelle pubblicazioni n. 9 e 10 viene provato che le funzioni di distribuzione f(x,p), spazialmente omogenee, non crescenti nel modulo di p, soluzioni stazionarie dell'equazione relativistica di Poisson-Vlasov, sono stabili. Si fa notare che il risultato non e` ottenuto linearizzando le equazioni, ma utilizzando il teorema di Liapunov. Non vengono assunte proprieta` di regolarità della soluzione (e dei dati iniziali) e cio` puo` essere rilevante in qualche situazione fisica. Si fa inoltre presente che lo stesso metodo di dimostrazione puo` essere applicato al modello relativistico di Maxwell-Vlasov.

Nell’ambito della meccanica dei fluidi mi sono occupato di questioni di stabilita` di flussi stazionari, sostanzialmente basati su alcuni metodi geometrici introdotti da V. Arnold e ripresi dalla scuola di Marsden. Tali metodi possono essere riguardati come l’estensione al caso di gruppi infinito dimensionali, come il gruppo di diffeomorfismi,  di alcuni metodi geometrici per lo studio delle proprieta` dinamiche e di stabilita` di moti stazionari di sistemi meccanici aventi come spazio delle configurazioni un gruppo di Lie dotato di una metrica left-invariante. Di tale attivita` e` rimasta traccia in alcuni seminari da me tenuti (3, 4, 5).

L’attivita` di ricerca in questo settore e` stata svolta principalmente in collaborazione con il Prof. Carlo Marchioro dopo il mio trasferimento a Trento (1983) e la presa di servizio come ricercatore universitario.

Nota sull’attivita` di ricerca sull’argomento: Propagazione di onde acustiche in mezzi elastici e viscoelastici non omogenei stratificati.

Come passo preliminare verso lo studio delle onde nei mezzi viscoelastici, ci si propone una analisi dei modi ondosi di propagazione. Come e` ben noto, tali onde sono di tipo inomogeneo, cioe` caratterizzate dall’avere i piani di fase e di ampiezza costante non coincidenti. Nelle pubblicazioni n. 13 e 14 viene fornita una caratterizzazione della velocità di fase e dell’attenuazione sulla base di condizioni poste dalla termodinamica, e si imposta il problema del comportamento delle onde viscoelastiche sulla superficie di separazione tra due mezzi diversi.

Nella pubblicazione n. 15 viene studiato il fenomeno della propagazione delle onde acustiche nell’interfaccia tra materiali viscoelastici diversi, caratterizzando analiticamente le ampiezze per i segnali riflesso e trasmesso. Infine, vengono forniti vari esempi numerici. Nella pubblicazione n. 16 del fenomeno viene data una descrizione analitica in termini di potenziali. Infine, vengono forniti vari esempi numerici.

Nella pubblicazione n. 17 viene studiata l’esistenza di onde di superficie, analoghe alle onde di Rayleigh nel caso elastico, anche nel caso viscoelastico. Nel caso viscoelastico, come e` facile attendersi, la fenomenologia e` pero` piu complessa.

Infine, nella pubblicazione n. 19 viene mostrato un metodo perturbativo, valido nel limite di piccole lunghezze d’onda, per lo studio della propagazione delle onde acustiche nei mezzi elastici stratificati con continuita`. Vengono calcolati i coefficienti di trasmissione e riflessione per le onde longitudinali e trasversali nel caso di due mezzi elastici omogenei separati da una regione di transizione.

Del problema della caratterizzazione delle onde elastiche di Rayleigh nel caso non omogeneo stratificato mi sono occupato nell’ambito dell’attivita` legata alla tesi n. 4, mentre del problema della propagazione di onde elettromagnetiche in guide d’onda non omogenee planari mi sono occupato nell’ambito dell’attivita` legata alla tesi n. 5.

L’attivita` di ricerca in questo settore e` stata svolta in collaborazione con i Proff. Giacomo Caviglia e Angelo Morro dell’Universita` di Genova nel periodo 1988-1990.

Nota sull’attivita` di ricerca sull’argomento: Meccanica Analitica.

Nel 1987, nell’ambito dell’interazione con alcuni fisici teorici di Trento (S. Zerbini, G. Tecchiolli), mi sono occupato di sistemi meccanici descritti da lagrangiane di ordine superiore, cioe` descritti da lagrangiane dipendenti dalle derivate (temporali) di ordine superiore al primo. Una possibile motivazione e` quella di costruire un modello finito-dimensionale per sistemi descritti ad esempio dall’azione basata sulla lagrangiana  R + R^2, come lagrangiana alternativa alla lagrangiana R di Einstein-Hilbert (R indica lo scalare di curvatura). Come noto, nell’azione basata solo su R, i termini di ordine superiore possono essere eliminati perche’ intervengono sotto forma di divergenza, ma cio` non e` possibile nel caso R + R^2.

Nel lavoro 11 vengono studiati i sistemi meccanici finito dimensionali descritti da lagrangiane di ordine superiore e in particolare il processo di hamiltonianizzazione (trasformazione di Gauss-Ostrogradsky)  e viene mostrato che, in generale, per questi sistemi, l’energia (ovvero l’hamiltoniana nel caso autonomo) non risulta definita in segno.

Il problema della stabilita` e` ripreso nella pubblicazione n. 12. Come e` noto, essendo l'hamiltoniana non sempre definita in segno, non può essere usato il ben noto criterio di Lagrange-Dirichlet, ma occorre fare ricorso ai metodi della teoria canonica delle perturbazioni (teorema KAM). Viene mostrato, con un esempio, che l’indefinitezza in segno dell’hamiltoniana non preclude la stabilita`, rimuovendo quindi una eventuale critica che poteva essere mossa alla validita` di questi sistemi.

L’attivita` in questo settore e` stata occasione per un approfondimento culturale sulla teoria canonica delle perturbazioni e sulla teoria di Nekhoroshev.

Dal 1990 ad oggi la mia attivita` di ricerca si e` svolta quasi esclusivamente nell’ambito della meccanica analitica, con un approccio ai problemi caratterizzato dall’impiego di metodi e strumenti geometrico-differenziali.

L’attivita` di ricerca sui sistemi meccanici in cui siano presenti vincoli cinetici (eventualmente non lineari nelle velocita`) trae origine dall’esigenza di definire in maniera soddisfacente la nozione di vincolo cinetico ideale. Se nel caso di vincoli lineari nelle velocita` e` ancora possibile definire il concetto di spostamento virtuale, e di estendere quindi al caso cinetico il principio di D’Alembert, la cosa non risulta piu’ naturale per vincoli non lineari. In questa direzione va annoverata la definizione, plausibile anche se non completamente motivata, di spostamento virtuale data attraverso le cosiddette condizioni di Chetaev. Va altresi’ rammentata l’ovvia considerazione che la nozione di idealita` non puo’ essere banalmente ricondotta al fatto che il vincolo cinetico eserciti una potenza nulla.

Anche allo scopo di tenere conto della dipendenza dal tempo dei vincoli (e delle sollecitazioni attive) si e` preferito introdurre uno spazio-tempo delle configurazioni (piuttosto che uno spazio delle configurazioni), fibrato sui reali attraverso la proiezione tempo assoluto e la corrispondente jet-extension, identificata con lo spazio-tempo degli stati cinetici. In tale varieta` risulta possibile introdurre un campo vettoriale opportuno, detto flusso dinamico, che descrive la dinamica in assenza di vincoli cinetici, la sottovarieta` dei vincoli e varie strutture geometriche, tra cui la metrica “verticale” che tiene conto della distribuzione delle masse e della geometria dei vincoli posizionali. Nell’ambiente geometrico cosi’ costituito risulta naturale definire un processo di proiezione che associa  univocamente al flusso dinamico in assenza di vincoli, un corrispondente flusso tangente alla varieta` dei vincoli, che descrive appunto la dinamica in presenza di vincoli. Il processo di proiezione introdotto, matematicamente equivalente alla caratterizzazione costitutiva dei vincoli ideali, risulta essere compatibile con quanto dedotto attraverso le suddette condizioni di Chetaev (fornendo quindi una motivazione delle condizioni stesse) e con il principio di Gauss di minima costrizione. Questi risultati sono contenuti nella pubblicazione n. 18.

Nel lavoro n. 20 vengono esaminati preventivamente le strutture e gli enti geometrici presenti canonicamente sulla prima jet-extension dello spazio-tempo delle configurazioni, come la distribuzione dei vettori verticali e il tensore fondamentale, e l’operazione di differenziale di fibra determinata dal tensore fondamentale stesso.

L’assegnazione di un flusso dinamico sulla prima jet-extension dello spazio-tempo delle configurazioni determina una distribuzione, detta orizzontale, sullo spazio stesso, dando luogo a uno splitting dello spazio tangente in somma diretta del sottospazio verticale sopra detto, dello spazio orizzontale e dello spazio 1-dimensionale  generato dal flusso dinamico stesso.

Passo ulteriore e` la costruzione di una analisi tensoriale sulla prima jet-extension dello spazio-tempo delle configurazioni, ovvero la definizione di una derivazione covariante, la definizione stessa essendo condizionata principalmente dal requisito di preservazione delle strutture canoniche dello spazio e di quelle determinate dalla dinamica.

Il significato fisico della connessione introdotta (che, tra l’altro, si riduce a quella di Levi-Civita associata alla metrica definita dalla parte quadratica dell’energia cinetica nel caso di sistemi olonomi a vincoli indipendenti dal tempo e non soggetti a forze attive) e` ulteriormente chiarito dalla possibilita` offerta dalla connessione stessa di definire una derivazione temporale dei vettori (verticali) nel contesto della meccanica lagrangiana. Cio` segue dal fatto che ogni sistema di riferimento determina canonicamente un flusso dinamico sulla prima jet-extension dello spazio-tempo delle configurazioni, e quindi una derivazione covariante.

La definizione di connessione dinamica introdotta in questo lavoro consente di affrontare in maniera innovativa il ben noto problema lagrangiano inverso, vale a dire la caratterizzazione di condizioni necessarie e sufficienti affinche’ un assegnato flusso dinamico possa essere dedotto, almeno localmente, da una opportuna funzione lagrangiana. In particolare, nel lavoro n. 20 viene data una formulazione intrinseca delle condizioni di Helmholtz, seguendo una linea tracciata in alcuni ricerche di Crampin, Sarlet, Prince, Thompson e altri Autori negli anni 80.

Un approccio alternativo al problema lagrangiano inverso e` quello basato sulla sua riformulazione in termini di un sistema differenziale esteriore e sull’impiego della teoria di Cartan-Kahler. Tale investigazione e’ argomento della tesi n. 3.

Sull’estensione della definizione di connessione dinamica anche al caso anolonomo, malgrado gli sforzi di molti ricercatori, non credo che il problema si possa considerare completato. Un certo insieme apprezzabile di risultati e` rappresentato dalla tesi di dottorato di Antonio Galea.

La dinamica per sistemi anolonomi e` stata ripresa in un successivo lavoro (n. 21) in cui si introducono alcune strutture geometriche presenti sulla sottovarieta` degli stati cinetici ammessi dai vincoli. Tra queste sono risultate rilevanti rilevanti il fibrato delle 1-forme differenziali di Chetaev, avente un carattere “cinematico”, essendo determinato soltanto dall’immersione della sottovarieta` stessa, e un campo tensoriale di tipo (1,1), detto tensore fondamentale sulla sottovarieta` dei vincoli, determinato invece anche dal processo di proiezione citato in relazione al lavoro n. 18. Tale campo costituisce la naturale generalizzazione, in un contesto in cui siano presenti vincoli cinetici, dell’usuale tensore fondamentale canonicamente presente su uno spazio di getti. In termini di questo tensore fondamentale e` possibile costruire un’antiderivazione dell’algebra di Grassmann sulla sottovarieta` dei vincoli, a partire dalla quale definire, tra l’altro, una nozione di differenziazione di fibra, ovvero, una nozione di spostamento virtuale. Le conseguenti implicazioni dinamiche risultano ovviamente compatibili con quanto ottenuto nel lavoro n. 18, ma il quadro geometrico ora disponibile risulta enormemente arricchito e suscettibile di ulteriori sviluppi.

Sempre nel lavoro n. 21, allo scopo di studiare sistemi costituiti da infinite particelle, pur rimanendo la dimensione dello spazio-tempo delle configurazioni finita, come nel caso di sistemi costituiti da corpi rigidi,  si rivela la necessita` di descrivere la massa e le sollecitazioni, sia attive che passive, in termini di misure (a valori vettoriali). Il caso di masse concentrate, e/o di sollecitazioni attive e/o passive concentrate, come accade inevitabilmente ad esempio nel caso di rotolamenti di corpi rigidi, costringe a riformulare le equazioni cardinali della meccanica in termini di misure. L’analisi conseguente conduce a una definizione di vincolo ideale applicabile in questo contesto, e a una estensione del principio di Gauss di minima costrizione.

Infine, sempre nella pubblicazione n. 21, viene mostrato che condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilita` di un insieme di vincoli cinetici e` che il modulo generato dalle 1-forme di Chetaev ad essi associato formi un ideale differenziale.

Nella pubblicazione n. 22 viene presa in considerazione la struttura di gauge della Meccanica Classica, cioe` l’invarianza della dinamica rispetto all’aggiunta di una derivata totale di una funzione delle coordinate e del tempo alla funzione lagrangiana.

Viene introdotto uno spazio fibrato P, con gruppo strutturale R, detto il fibrato degli scalari affini, avente come varieta` di base lo spazio-tempo delle configurazioni, a sua volta fibrato sul tempo attraverso la proiezione tempo assoluto. Riguardando alternativamente P come fibrato sul tempo o sullo spazio-tempo delle configurazioni e introducendo le corrispondenti prime jet-extensions, e` possibile costruire, attraverso canoniche operazioni di quozientamento, 4 spazi fibrati, detti, nell’ordine, lagrangiano, co-lagrangiano, hamiltoniano, co-hamiltoniano, oltre, ovviamente gli spazi degli stati cinetici e delle fasi, e quindi tutti gli spazi rilevanti nei due formalismi.

Nello schema cosi’ costruito le usuali funzioni lagrangiana e hamiltoniana andranno riguardate come descrizioni in coordinate, e quindi soggette a trasformazioni del tipo di quella sopra indicata (per la funzione lagrangiana) di opportune sezioni, queste ultime aventi effettivamente un carattere geometrico intrinseco. Sempre in questo schema e` possibile riscontrare che una assegnata sezione lagrangiana determina una connessione, e quindi una 1-forma, nel fibrato co-lagrangiano, la cui 2-forma di curvatura e` proprio la 2-forma di Poincare`-Cartan associata alla famiglia di lagrangiane equivalenti nel senso sopra detto.

La prima jet-extension di P (P riguardato ora come fibrato sullo spazio-tempo delle configurazioni) ha natura di fibrato principale sullo spazio hamiltoniano sopra citato, e reca una connessione canonica, determinata dalla 1-forma di contatto. La trasformazione di Legendre emerge a questo punto come l’unica applicazione (fibrata sullo spazio-tempo delle configurazioni) tra gli spazi lagrangiano e hamiltoniano sopra introdotti avente la proprieta` di mappare la connessione canonica

presente sulla prima jet-extension di P con la connessione determinata dalla sezione lagrangiana.

Nelle pubblicazioni n. 23 e n. 24 si esamina la relazione di dualita' nel contesto dei fibrati affini, e la procedura ad essa strettamente legata nota in letteratura come trasformazione di Legendre. Si vede, tra l'altro, come nell'ambito dello schema introdotto sia possibile inquadrare le varie descrizioni di un sistema termodinamico corrispondenti a diverse scelte delle variabili di controllo. Infine, tutte le strutture geometrico-differenziali motivate dall'esigenza di tenere conto del gauge lagrangiano (oggetto del lavoro n. 22), inquadrate nell'ambito della trasformazione di Legendre, danno luogo a una descrizione unificata e gauge-invariante della meccanica lagrangiana e hamiltoniana per sistemi non autonomi, che rappresenta una generalizzazione dell'approccio proposto da Tulczyjew.

In questi ultimi anni l’attivita` di ricerca in Meccanica Analitica ha riguardato la formulazione lagrangiana e hamiltoniana in presenza di vincoli cinetici, l’estensione del formalismo di Tulczyjew al caso non autonomo e alla luce delle strutture introdotte in relazione al gauge lagrangiano (pubblicazioni n. 25 e n. 26), e la formulazione variazionale in presenza di vincoli cinetici, quest’ultimo problema legato alla teoria del controllo ottimale (pubblicazioni nn. 27, 30, 31, 33, 35, 36, 37, 38).

Nei lavori n. 27, n. 33, n. 37 viene presentato un soddisfacente set-up geometrico differenziale per la formulazione del calcolo delle variazioni in presenza di vincoli cinetici, pervenendo a una scrittura tensoriale della cosiddetta equazione alle variazioni mediante l’introduzione di una opportuna connessione e legge di trasporto, e a una caratterizzazione delle curve estremali in normali e non normali. Questa classificazione e’ stata sviluppata non solo per curve regolari, ma anche per curve che presentano punti di discontinuita’ delle derivate prime. 

Sono stati ottenuti i risultati che rientrano nel ben noto principio del massimo di Pontryagin e le cosiddette condizioni di Erdmann-Weierstrass che devono valere nei punti di discontinuita’ della derivata prima, e viene data dimostrazione della validita’ del metodo dei moltiplicatori di Lagrange nel caso funzionale. Infine e` stato provato il fatto che nel caso di estremali normali (nel senso sopra detto) un campo di variazione infinitesima nullo agli estremi della curva estremale e` estendibile a una famiglia a un parametro di deformazioni finite (nulle agli estremi) della curva (pubblicazione n. 38).  

Nell’ambito dei problemi di controllo ottimale ho esaminato la possibilita’ di estendere alcuni metodi e risultati della teoria della “seconda variazione” di funzionali al caso anolonomo e, in particolare, di costruire una corrispondente equazione di Jacobi e di ottenere condizioni necessarie e sufficienti per la definitezza positiva della variazione seconda medesima. Questi risultati sono l’oggetto di pubblicazioni con Massa, Luria e Bruno. n. 31 e n. 35.

Nel lavoro n. 36 la teoria della variazione seconda, dei campi di Jacobi e dei punti coniugati vengono estesi al caso in cui siano presenti discontinuita’ nelle velocita’ (corners). La difficolta` maggiore e` legata alla valutazione del contributo alla variazione seconda del funzionale dovuta alla variazione “asincrona” dei corners medesimi. La problematica e` presente nell’ampia letteratura sul calcolo delle variazioni ma, a mio giudizio, molti problemi sono ancora aperti e necessitano di significativi chiarimenti. In particolare e’ ben noto l’approccio suggerito da Maslov per la caratterizzazione dei punti coniugati, sviluppato pero’ in situazioni di regolarita’ delle estremali.

Nel lavoro n. 36 in particolare viene mostrato che in corrispondenza di ogni punto di discontinuita’ di una curva estremale risulta definita una quantita’ intrinseca (denominate “strength” del corner) che determina essenzialmente il contributo della presenza del corner nel cosiddetto funzionale accessorio della variazione seconda. Sempre nel lavoro n. 36 vengono provate condizioni necessarie e sufficienti affinche’ la variazione seconda sia definita positiva, ovvero affinche’ una data estremale sia un minimo per il funzionale.

Nel lavoro n. 37 viene fornita, sempre in presenza di vincoli cinetici e nel caso di estremali con discontinuita’ nelle velocita’, una deduzione alternativa della nozione di campo di Jacobi, non basata sull’identificazione di quest’ultimo come generatore infinitesimo di un gruppo di diffeomorfismi  che preserva la famiglia delle curve estremaloidi, ma come soluzione delle equazioni variazionali di un opportuno problema variazionale accessorio.

Questo tipo di investigazione potrebbe avere qualche rilevanza anche nell’ambito della cosiddetta geometria differenziale sub-riemanniana.

L’attivita` di ricerca nel settore della meccanica analitica e` stata svolta principalmente in collaborazione con il Prof. Enrico Massa (e suoi collaboratori Bruno, Luria e Vignolo) dell’Universita` di Genova ed e` tuttora in corso. Per quanto riguarda le questioni di carattere variazionale (seconda variazione in presenza di vincoli cinetici, equazione di Jacobi etc.) e’ stato prezioso e incoraggiante anche il supporto fornito dal gruppo PRIN di Calcolo delle Variazioni del Dipartimento di cui ho fatto parte dal 2011 al 2015.

Nota sull’attivita` di ricerca sull’argomento: Analisi, anche storica, dei contributi di Grassmann e Peano alla Fisica-Matematica, all’Analisi e alla Geometria.

A partire dal 2007, nell’ambito di una collaborazione con Gabriele Greco dell’Universita` di Trento, sono stati esaminati i contributi di Grassmann e Peano e la sua Scuola alla costruzione dell’algebra esterna in un contesto affine. In tale ambiente coesistono oggetti geometrici come punti, vettori, bivettori e, piu’ in generale, “formazioni geometriche” di grado arbitrario. La teoria si presenta evidentemente piu’ ricca di quella utilizzata attualmente che e’ puramente vettoriale. La nostra attenzione si e’ rivolta in particolare alle applicazioni di carattere meccanico (statica, baricentri, classificazione e riduzione dei sistemi di vettori applicati etc.). Il lavoro di ricerca svolto si e’ concretizzato nella pubblicazione n. 28 dal titolo “Reworking on affine exterior algebra of Grassmann: Peano and his School”.

In collegamento con quanto detto sopra, nel 2009, in collaborazione con Gabriele Greco e Sonia Mazzucchi, ci si e` occupati, partendo dai lavori di Cauchy (1841) sulla derivazione e integrazione tendenti a implementare il paradigma “massa/densita’”, di un’analisi del concetto di “strict derivative” di funzioni distributive di insieme data da Peano nel 1887 e del confronto del lavoro di Peano con i successivi sviluppi di Lebesgue (1902, 1910, 1935). I risultati ottenuti hanno dato luogo al lavoro (n. 29) “Peano on derivative of measures, strict derivative of distributive set functions”, pubblicato sui Rendiconti dell’Accademia dei Lincei nel marzo 2010.

Successivamente, sempre con Greco e Mazzucchi ci si e`  occupati della formulazione della nozione bivettoriale di area di una superficie data da Peano (lavori n. 32 e n. 34). Il lavoro riesamina i contributi di Peano e della sua scuola, partendo dalle intuizioni algebrico/geometriche di Grassmann (1844) dell’algebra esterna e percorre gli ulteriori sviluppi successivi a Peano, fino al 1950 circa.

            Attualmente (2016/17) l’interesse e’ rivolto a una revisione della definizione di Grassmann del prodotto esterno, che Grassmann distingue in un prodotto “progressivo” e in un prodotto “regressivo”. La revisione dovrebbe portare a una formulazione unificata delle due strutture algebriche. L’attivita’ e’ incorso di svolgimento, in collaborazione con G. Greco.

PUBBLICAZIONI

 Le pubblicazioni individuate dai numeri 2, 5, 10, 13, 19, 25, 26 risultano far parte di Atti o Proceedings di Convegni, come esplicitamente indicato. L’elenco e` ordinato secondo la data di pubblicazione.

1)    Ugo Bruzzo, Enrico Pagani

Metodi variazionali e definizione dell'energia nella teoria linearizzata della relativita` generale

Riv. Mat. Univ. Parma  6, 443-457 (1980)

2)    Ugo Bruzzo, Enrico Massa, Enrico Pagani

Acceleration Waves in Viscous Fluids

Proceedings of the 9th Int. Conference on General Relativity and Gravitation, Jena (DDR), 14-19 giugno 1980

3)    Ugo Bruzzo, Enrico Pagani

A Note on the Initial-value Problem in the Linearized Theory of General Relativity

Riv. Mat. Univ. Parma  7, 279-284 (1981)

4)    Enrico Pagani

Onde di accelerazione e termiche in una teoria relativistica dei fluidi conduttori

Riv. Mat. Univ. Parma  9, 223-232 (1983)

5)    Enrico Pagani, Massimo Tinto

Propagation of Acceleration and Thermal Waves in Relativistic Kinetic Theory

Proceedings of the 10th Int. Conference on General Relativity and Gravitation, Padova (Italia), luglio 1983, pag. 103-106

6)    Enrico Pagani, Massimo Tinto

Acceleration and Thermal Waves in Kinetic Theory

Riv. Mat. Univ. Parma  11, 91-99 (1985)

7)    Enrico Massa, Enrico Pagani

Is the Riemann Tensor Derivable from a Tensor Potential?

Gen. Rel. Grav.  16, 805-816 (1984)

(ha avuto, alla data 8-9-2012, almeno 8 citazioni)

8)    Carlo Marchioro, Enrico Pagani

Evolution of Two Concentrated Vortices in a Two Dimensional Bounded Domain

Math. Meth. in the Appl. Sci.  8, 328-334 (1986)

9)    Carlo Marchioro, Enrico Pagani

Non-linear Stability of a Spatially Symmetric Solution of the Relativistic Poisson-Vlasov Equation

Rend. Sem. Mat. Univ. Padova  78, 125-143 (1987)

10) Carlo Marchioro, Enrico Pagani

Non-linear Stability of a 3-dimensional Spatially Symmetric Solution of the Relativistic Poisson Vlasov Equation

Proceedings del VII Convegno Nazionale di Relatività Generale e Fisica della Gravitazione, Rapallo (GE), 3-6 settembre 86, pag. 405-409

11) Enrico Pagani, Giampietro Tecchiolli, Sergio Zerbini

Sistemi lagrangiani di ordine superiore e stabilita`

Pubbl. Univ. Trento  UTM 220, luglio 87

12) Enrico Pagani, Giampietro Tecchiolli, Sergio Zerbini

On the Problem of Stability for Higher-Order Derivative Lagrangian Systems

Letters in Math. Phys.  14, 311-319 (1987)

(ha avuto, alla data 8-9-2012, almeno 6 citazioni)

13) Giacomo Caviglia, Angelo Morro, Enrico Pagani

Propagazione ondosa in mezzi viscoelastici stratificati

Atti del X Convegno AIMETA  (Bari) 4-7 ottobre 88, pag. 85-88

14) Giacomo Caviglia, Angelo Morro, Enrico Pagani

Time-harmonic Waves in Viscoelastic Media

Mech. Res. Comm.  16, 53-58 (1989)

(ha avuto, alla data 8-9-2012, almeno 2 citazioni)

15) Giacomo Caviglia, Angelo Morro, Enrico Pagani

Reflection and Refraction at Elastic-Viscoelastic Interfaces

Il Nuovo Cimentoo C 12, 399-413 (1988)

(ha avuto, alla data 8-9-2012, almeno 1 citazioni)

16) Giacomo Caviglia, Angelo Morro, Enrico Pagani

Inhomogeneous Waves in Viscoelastic Media

Wave Motion   12, 143-159 (1990)

(ha avuto, alla data 8-9-2012, almeno 21 citazioni)

17) Giacomo Caviglia, Angelo Morro, Enrico Pagani

Surface waves on a solid half-space

J. Acoust. Soc. Am.  86, 2456-2459 (1989)

(ha avuto, alla data 8-9-2012, almeno 4 citazioni)

18) Enrico Massa, Enrico Pagani

Classical Dynamics of non-holonomic systems: a geometric approach

Ann. Inst. H. Poincare'  55, 511-544 (1991)

(ha avuto, alla data 8-9-2012, almeno 48 citazioni)

19) Enrico Pagani

Propagazione di onde acustiche in mezzi elastici stratificati: un approccio perturbativo

Atti dell'XI Convegno AIMETA  (Trento, 28-9 - 1-10 - 1992), pag. 115-120

20) Enrico Massa, Enrico Pagani

Jet Bundle Geometry, Dynamical Connections, and the Inverse Problem of Lagrangian Mechanics

Ann. Inst. H. Poincare'  61, 17-62 (1994)

(ha avuto, alla data 8-9-2012, almeno 34 citazioni)

21) Enrico Massa, Enrico Pagani

A new look at Classical Mechanics of constrained systems

Ann. Inst. H. Poincare'  66, 1-36 (1997)

(ha avuto, alla data 8-9-2012, almeno 33 citazioni)

22) Enrico Massa, Enrico Pagani, Paolo Lorenzoni

On the gauge structure of Classical Mechanics

Transport Theory and Statistical Physics  29,  69-91 (2000)

(ha avuto, alla data 8-9-2012, almeno 11 citazioni)

23) Enrico Massa, Enrico Pagani, Stefano Vignolo

The Legendre Transformation (2002)

(assolti obblighi di legge relativi alle pubblicazioni) Preprint depositato in Procura e Commissariato del Governo di Trento il 24-1-2002

24) Enrico Massa, Enrico Pagani, Stefano Vignolo

Legendre Transformation and Analytical Mechanics: a Geometric Approach

J. Math. Phys. 44, 1709-1722 (2003)

(ha avuto, alla data 8-9-2012, almeno 6 citazioni)

25) Enrico Pagani

A geometric approach to the Legendre transformation

Proceedings of Dynamic Systems and Applications 4, 102-110 (2004)

Atti del 4th International Conference on Dynamic Systems (Atlanta, 21-24 maggio 2003)

26) Enrico Pagani

Duality between affine bundles and Analytical Mechanics

Atti XVI Convegno AIMETA (Ferrara, 9-12 settembre 2003)

27) Enrico Massa, Danilo Bruno, Enrico Pagani

Geometric Control Theory I: Mathematical foundations

inviato per la pubblicazione a “Journal of Differential Geometry” nel novembre 2007,

Inviato a ArXiv:0705.2362v2 [math.OC] il 16 maggio 2007,

Assolti gli obblighi della legge italiana relativi alle pubblicazioni.

28) Gabriele H. Greco, Enrico Pagani

Reworking on affine exterior algebra of Grassmann: Peano and his School

Istituto Lombardo (Rend. Scienze) 144, 17-52 (2010)

Inviato a arXiv:1002.4105v1 [math.HO] il 22-2-2010.

29) Gabriele H. Greco, Sonia Mazzucchi, Enrico Pagani

Peano on derivative of measures, strict derivative of distributive set functions

Rend. Lincei Mat. Appl. 21, 305-339 (2010)

Inviato a arXiv:1002.4098v1 [math.HO] il 22-2-2010.

30) Danilo Bruno, Gianvittorio Luria, Enrico Pagani

On the gauge structure of the Calculus of Variations with constraints

Int. J. of Geom. Meth. In Mod. Phys. 8 (8), 1723-1746 (2011)

Inviato a ArXiv:1101.5045 nel gennaio 2011

31) Enrico Massa, Danilo Bruno, Gianvittorio Luria, Enrico Pagani

Constrained variational calculus: the second variation (part I)

Inviato a http://arxiv.org/abs/1006.3632 nel 2011

32) Gabriele H. Greco, Sonia Mazzucchi, Enrico M. Pagani

Peano on definition of surface area

Inviato a ArXiV: 1412.2691 l’8 dicembre 2014

33) Enrico Massa, Danilo Bruno, Gianvittorio Luria, Enrico Pagani

Geometric constrained variational calculus. I: Piecewise smooth extremals

International Journal of Geometric Methods in Modern Physics

Vol. 12, No. 5 (2015) 1550061 (42 pages)

DOI: 10.1142/S0219887815500619

34) Gabriele H. Greco, Sonia Mazzucchi, Enrico M. Pagani

History of Mathematics - Peano on definition of surface area

Rend. Lincei Mat. Appl. 27 (2016), 251–286

DOI 10.4171/RLM/734

35) Enrico Massa, Danilo Bruno, Gianvittorio Luria, Enrico Pagani

Geometric constrained variational calculus. II: The second variation (Part I)

International Journal of Geometric Methods in Modern Physics

Vol. 13, No. 1 (2016) 1550132 (31 pages)

DOI: 10.1142/S0219887815501327

36) Enrico Massa, Gianvittorio Luria, Enrico Pagani

Geometric constrained variational calculus. III: The second variation (Part II)

International Journal of Geometric Methods in Modern Physics

Vol. 13, No. 4 (2016) 1650038 (39 pages)

DOI: 10.1142/S0219887816500389

37) Enrico Massa, Enrico Pagani

On the notion of Jacobi fields in constrained calculus of variations

Communications in Mathematics, accettato per la pubblicazione il 4 dicembre 2016, in corso di stampa nel 2016/7

DOI: 10.1515/cm-2016-0007

38) Enrico Massa, Enrico Pagani

Deformation of piecewise differentiable curves in constrained variational calculus.

Inviato per la pubblicazione alla Rivista  Differential Geometry and its Applications il 24 ottobre 2016

1. Propagation of acceleration and thermal waves in relativistic kinetic theory (10^th Int. Conf. on GRG, Padova, luglio 1983)
2. Su un potenziale del tensore di Riemann (Trento, Dip.to di Matematica, 3-11-1983)
3. Mechanical systems on Lie groups (Bielefeld, Germania, 22-5-1985)
4. Approccio geometrico alla fluidodinamica (due seminari) (Roma, Dip.to di Matematica, 25 e 26 – 7-1985)
5. Problemi di stabilita` in meccanica dei fluidi essenzialmente basati sui due metodi di V. Arnold (Roma, Dip.to di Fisica, 20-2-1986)
6. Non-linear stability of a 3-dimesional spatially symmetric solution of the relativistic Poisson-Vlasov equation (VII Convegno Naz. di Rel. Gen., Rapallo, settembre 1986)
7. Propagazione ondosa in mezzi viscoelastici stratificati (X Convegno AIMETA, Bari, ottobre 1988)
8. Geometric approach to non holonomic dynamical systems (invited talk) (Conference on Differential Equations, Sao Carlos, 12-6-1990)
9. Geometric approach to non holonomic dynamical systems (UNICAMP, Campinas, BR, 19-6-1990)
10. Approccio geometrico alla dinamica dei sistemi con vincoli anolonomi (Parma, Dip.to di Fisica, 11-7-1990)
11. Propagazione di onde acustiche in mezzi elastici stratificati: un approccio perturbativo (XI Convegno AIMETA, Trento, 28-9-1992)
12. Dynamical systems on jet-bundles – Recent results: non-holonomic constraints theory, inverse problem of Lagrangian Mechanics (IME, Sao Paulo, BR, 1-3-1993)
13. Jet bundle geometry and applications to the inverse problem of Lagrangian Mechanics and non holonomic systems (UNICAMP, Campinas, BR, 3-3-1993)
14. Jet bundle geometry and applications to Analytical Mechanics (Sao Carlos, BR, 4-3-1993)
15. Jet bundle techniques in Classical Mechanics, Gauss principle, nonholonomic constraints, generalized potential, Helmholtz conditions (IMPA, Rio de Janeiro, BR, 8-3-1993)
16. Some problems in Analytical Mechanics: kinetic constraints and the inverse Lagrangian problem (SISSA, Trieste, 4-6-1993)
17. Jet bundle geometry, dynamical connection and the inverse problem of Lagrangian Mechanics (X Workshop on Diff. Geom. Methods in Classical Mechanics, Trieste, 4-9-1995)
18. Dynamics of non-holonomic systems (XI Workshop on Diff. Geom. Methods in Classical Mechanics, Windsor, UK, 27-8-1996)
19. La struttura di gauge della Meccanica Classica (Padova, Dip.to di Matematica, 10-12-1999)
20. Trasformazione di Legendre e estensione gauge invariante dell’approccio di Tulczyjew ai sistemi non autonomi (Riunione del Progetto di Ricerca GNFM 2000 “Vincoli anolonomi, integrabilita` e non integrabilita` ”, Trento, 12-2-2001)
21. Gauge structure of Classical Mechanics: holonomic and non-holonomic case (Geometry, Symmetry and Mechanics I, Lisbona, 12-7-2001)
22. La struttura di gauge della Meccanica Classica (Riunione scientifica del GNFM, Montecatini, 17-2-2003)
23. Invitato a tenere una relazione al 4th Int. Conference on Dynamical Systems and Applications (Atlanta, 21-24 maggio 2003) dal titolo “A geometric approach to the Legendre transformation”.
24. Duality between affine bundles and Analytical Mechanics (XVI Convegno AIMETA, Ferrara, 9-12 settembre 2003).
25. Relazione su invito: A gauge invariant approach to classical Lagrangian Mechanics (Workshop on Dynamics, Torino, 17-19 novembre 2003).
26. Relazione su invito: A gauge invariant approach to Lagrangian Mechanics and Legendre transformation (XIX International Workshop on Diff. Geom. Methods in Classical Mechanics, Bedlewo (Polonia), 22-29 agosto 2004).
27. Seminario presso il Dipartimento di Matematica dell’Universita’ di Torino (nell’ambito di un Workshop relativo al progetto GNFM-INDAM su “Meccanica anolonoma, teoria di Hamilton-Jacobi”, responsabile Sergio Benenti) “Calcolo delle variazioni in presenza di vincoli cinetici”, 14 aprile 2005.
28. “Calculus of variations with constraints” (XXII International Workshop on Diff. Geom. Methods in Classical Mechanics, Bedlewo (Polonia), 19-26 agosto 2007).
29.  “Calcolo delle variazioni in presenza di vincoli differenziali. Come definire le variazioni ammissibili”, Trento, 18-1-2008, nel Convegno “Giornata Dipartimentale di Controllo”.
30. “Calcolo delle variazioni in presenza di vincoli: variazioni ammissibili, rigidita' delle estremali, seconda variazione”. Trento, 5-2-2008, nella “Giornata sulla ricerca nel dipartimento di matematica di Trento”.
31.  Invitato a tenere la relazione: “Geometric Approach to the Calculus of Variations: old and new results.” (XXIII International Workshop on Diff. Geom. Methods in Classical Mechanics, Balatonföldvár (HUNGARY),  August 24-30, 2008).
32. “Alcune questioni di Calcolo delle Variazioni in presenza di vincoli e estremali C^1 a tratti” (Riunione Scientifica del GNFM, Montecatini 4-6 ottobre 2012).
33. “Calcolo delle variazioni in presenza di vincoli cinetici”, Padova, Dipartimento di Matematica, 29 ottobre 2012.
34. “Geometric aspects of Calculus of Variations in presence of constraints” (nell’ambito del “Convegno Annuale di Calcolo delle Variazioni”, Levico Terme (TN) 18-22 gennaio 2016). Conferenza  tenuta il 21-1-2016.
35. “Differential geometric aspects of constrained Calculus of Variations. First and second variation” (nell’ambito del Convegno “Differential Geometry and its Applications”, Brno 11-15 luglio 2016). Conferenza tenuta il 12-7-2016.
36.  “Constrained variational calculus: Piecewise differentiable extremals” (nell’ambito del Convegno “Controllability and Hysteresis”, Trento, 4-11-2016).

Sono stato responsabile del Progetto di Ricerca GNFM 2000 “Vincoli anolonomi, integrabilita` e non integrabilita` ”, attivato nel corso dell’anno 2000 e finanziato dal GNFM. Il progetto si e’ proposto di approfondire alcuni aspetti della meccanica analitica, con particolare riguardo a questioni legate a strutture anolonome, e a problemi di integrabilita` e di non integrabilita`. Le problematiche e i tipi di approccio hanno come elemento unificatore l’impiego di metodi e strumenti geometrico-differenziali. Al progetto hanno partecipato circa 10 persone di varie sedi universitarie (Genova, Padova, Parma, Torino, Trento). Nell’ambito dell’attivita’ di questo progetto si e’ svolto a Trento, nei giorni 12, 13, 14 febbraio 2001, un incontro scientifico tra i partecipanti.

Come responsabile scientifico ho curato l’organizzazione del “XVII International Workshop on Differential Geometric Methods in Theoretical Mechanics”, che si e' svolto a Levico-Terme (TN) nel periodo 1 – 8 settembre 2002. Il Convegno, che ha avuto circa 60 partecipanti, ha rappresentato un importante momento di incontro tra ricercatori, principalmente europei, che si occupano di problemi di Meccanica Analitica usando metodi e strumenti di Geometria Differenziale.

Ho curato l’organizzazione del “XXIV International Workshop on Differential Geometric Methods in Theoretical Mechanics”, che si e' svolto a Levico-Terme (TN) nel periodo 24 - 30 agosto 2009. Il Convegno, che ha avuto circa 50 partecipanti, ha rappresentato un importante momento di incontro tra ricercatori, principalmente europei, che si occupano di problemi di Meccanica Analitica usando metodi e strumenti di Geometria Differenziale.

Ho curato l’organizzazione del “XXV International Workshop on Differential Geometric Methods in Theoretical Mechanics”, che si e' svolto a Levico-Terme (TN) nel periodo dal 23 al 29 agosto 2010. Il Convegno, che ha avuto circa 50 partecipanti, ha rappresentato un importante momento di incontro tra ricercatori, principalmente europei, che si occupano di problemi di Meccanica Analitica usando metodi e strumenti di Geometria Differenziale.

Ho svolto, nel periodo 2006 – 2015, l’attivita’ di Vice-Coordinatore del Dottorato di Ricerca in Matematica di Trento. Nel periodo Settembre 2014 – Febbraio 2015 ho sostituito il Coordinatore, Prof. Serra Cassano, assente per svolgimento di ricerca (anno sabbatico).

Partecipazione a progetti di ricerca.

Negli anni 2004/05 ho partecipato all’attivita’ di ricerca nell’ambito del Progetto GNFM-INDAM su “Meccanica analitica, vincoli anolonomi, teoria di Hamilton-Jacobi”, di cui e’ stato responsabile il Prof. Sergio Benenti. Il mio contributo ha riguardato i problemi variazionali in presenza di vincoli cinetici. I risultati di questo lavoro di ricerca, che appariranno in un lavoro di prossima pubblicazione, sono stati esposti in un seminario da me tenuto il 14-4-05 nell’ambito di uno specifico Workshop presso il Dipartimento di Matematica dell’Universita’ di Torino.

Attivita` editoriale.

Nel periodo 1993 – 1999 mi sono occupato, in qualita` di Assistant Editor, della Rivista scientifica "NoDEA - Nonlinear Differential Equations and Applications", interamente prodotta a Trento, pubblicata dalla Casa Editrice Birkhauser e diretta dal Prof. Luigi Salvadori.

Dal 2001 sono membro dell’Editorial Board della Rivista “Nonlinear Studies” (Editor in Chief: S. Savisundaram).

Dal 2009 sono membro dell’Editorial Board della Rivista “Mathematics in Engineering, Science and Aerospace MESA”.